40 Contoh Soal Perbandingan Trigonometri Matematika Kelas 10 Kurilulum Merdeka dan Kunci Jawaban

A. Soal Pilihan Ganda

1. c. 1/2
sin 30° = 1/2
cos 60° = 1/2
Jadi, sin 30° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1

2. b. 4/5
tan α = sin α / cos α = 3/4
Maka, sin α = 3k dan cos α = 4k (k adalah konstanta)
Dengan menggunakan identitas sin⊃2; α + cos⊃2; α = 1, kita dapatkan k = 1/5
Jadi, cos α = 4k = 4/5

3. b. -1/2
sin 150° = 1/2
cos 30° = √3/2
Jadi, sin 150° - cos 30° = 1/2 - √3/2 = -1/2

4. a. √3
cos α = 1/2, maka α = 60°
tan 60° = √3

5. a. -√2
sin 225° = -√2/2
cos 135° = -√2/2
Jadi, sin 225° + cos 135° = -√2/2 - √2/2 = -√2

6. a. √5/3
sin α = 2/3, maka cos α = √(1 - sin⊃2; α) = √(1 - 4/9) = √5/3

7. a. -1
cos 120° = -1/2
sin 240° = -√3/2
Jadi, cos 120° + sin 240° = -1/2 - √3/2 = -1

8. d. -2√5/5
tan α = sin α / cos α = -1/2
Maka, sin α = -k dan cos α = 2k (k adalah konstanta)
Dengan menggunakan identitas sin⊃2; α + cos⊃2; α = 1, kita dapatkan k = 1/√5
Jadi, sin α = -k = -1/√5 = -√5/5

9. a. -√3/2
sin 300° = -√3/2
cos 150° = -√3/2
Jadi, sin 300° + cos 150° = -√3/2 - √3/2 = -√3

10. b. -3/4
cos α = -4/5, maka sin α = √(1 - cos⊃2; α) = √(1 - 16/25) = 3/5
tan α = sin α / cos α = (3/5) / (-4/5) = -3/4

11. a. √2
sin 45° = √2/2
cos 45° = √2/2
Jadi, sin 45° + cos 45° = √2/2 + √2/2 = √2

12. a. 5/13
tan α = sin α / cos α = 5/12
Maka, sin α = 5k dan cos α = 12k (k adalah konstanta)
Dengan menggunakan identitas sin⊃2; α + cos⊃2; α = 1, kita dapatkan k = 1/13
Jadi, sin α = 5k = 5/13

13. a. -√3/2
cos 210° = -√3/2
sin 330° = -1/2
Jadi, cos 210° + sin 330° = -√3/2 - 1/2 = -√3/2

14. b. -4/5
sin α = -3/5, maka cos α = √(1 - sin⊃2; α) = √(1 - 9/25) = -4/5 (karena α sudut tumpul)

15. b. -1
sin 180° = 0
cos 0° = 1
Jadi, sin 180° + cos 0° = 0 + 1 = 1

16. d. -3/5
tan α = sin α / cos α = -4/3
Maka, sin α = -4k dan cos α = 3k (k adalah konstanta)
Dengan menggunakan identitas sin⊃2; α + cos⊃2; α = 1, kita dapatkan k = 1/5
Jadi, sin α = -4k = -4/5

17. a. √3/2
cos 300° = 1/2
sin 120° = √3/2
Jadi, cos 300° + sin 120° = 1/2 + √3/2 = √3/2

18. c. 2
cos α = 2/√5, maka sin α = √(1 - cos⊃2; α) = √(1 - 4/5) = 1/√5
tan α = sin α / cos α = (1/√5) / (2/√5) = 1/2

19. a. -1
sin 270° = -1
cos 90° = 0
Jadi, sin 270° + cos 90° = -1 + 0 = -1

20. b. -12/13
tan α = sin α / cos α = -5/12
Maka, sin α = -5k dan cos α = 12k (k adalah konstanta)
Dengan menggunakan identitas sin⊃2; α + cos⊃2; α = 1, kita dapatkan k = 1/13
Jadi, cos α = 12k = 12/13

B. Soal Isian

1. √3/2
sin 150° = 1/2
cos 30° = √3/2
Jadi, sin 150° + cos 30° = 1/2 + √3/2 = √3/2

2. √3/2
tan α = 1/√3, maka α = 30°
cos 30° = √3/2

3. -√3/2
sin 240° = -√3/2
cos 330° = √3/2
Jadi, sin 240° - cos 330° = -√3/2 - √3/2 = -√3

4. -√2
cos α = -√2/2, maka α = 135°
tan 135° = -1

5. 0
sin 330° = -1/2
cos 150° = -√3/2
Jadi, sin 330° + cos 150° = -1/2 - √3/2 = 0

6. 1
sin α = 1/√2, maka α = 45°
tan 45° = 1

7. 0
cos 270° = 0
sin 90° = 1
Jadi, cos 270° + sin 90° = 0 + 1 = 0

8. -1/2
tan α = -√3, maka α = 120°
cos 120° = -1/2

9. √3
sin 120° = √3/2
cos 240° = -1/2
Jadi, sin 120° - cos 240° = √3/2 + 1/2 = √3

10. 4/3
cos α = 3/5, maka sin α = √(1 - cos⊃2; α) = √(1 - 9/25) = 4/5
tan α = sin α / cos α = (4/5) / (3/5) = 4/3

C. Soal Essay

1. Hubungan Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa dengan Sudut di Kuadran Lainnya
Kuadran I (0° ≤ α ≤ 90°): Semua perbandingan trigonometri bernilai positif.
Kuadran II (90° ≤ α ≤ 180°): Hanya sin α yang bernilai positif, sedangkan cos α dan tan α bernilai negatif.
Kuadran III (180° ≤ α ≤ 270°): Hanya tan α yang bernilai positif, sedangkan sin α dan cos α bernilai negatif.
Kuadran IV (270° ≤ α ≤ 360°): Hanya cos α yang bernilai positif, sedangkan sin α dan tan α bernilai negatif.

Contoh:
sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° (karena sudut 120° berada di kuadran II, sin bernilai positif)
cos 210° = -cos (210° - 180°) = -cos 30° (karena sudut 210° berada di kuadran III, cos bernilai negatif)
tan 315° = -tan (360° - 45°) = -tan 45° (karena sudut 315° berada di kuadran IV, tan bernilai negatif)

2. Buktikan Identitas Trigonometri: sin⊃2; α + cos⊃2; α = 1
Pembuktian:
Perhatikan segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku di C.
Misalkan sudut A = α.
Maka, sin α = BC/AB dan cos α = AC/AB.
Dengan teorema Pythagoras, kita tahu bahwa AB⊃2; = BC⊃2; + AC⊃2;.
Bagi kedua ruas persamaan dengan AB⊃2;, kita dapatkan:1 = (BC/AB)⊃2; + (AC/AB)⊃2;
1 = sin⊃2; α + cos⊃2; α
Jadi, terbukti bahwa sin⊃2; α + cos⊃2; α = 1.

3. Tentukan nilai dari sin 75° dan cos 75° dengan menggunakan rumus penjumlahan sudut!
Rumus Penjumlahan Sudut:
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Penyelesaian:
sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4
cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° - sin 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6 - √2)/4

4. Jika tan α = 2/3 dan α sudut lancip, tentukan nilai dari sin 2α dan cos 2α!
Rumus Sudut Ganda:
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos⊃2; α - sin⊃2; α

Penyelesaian:
tan α = 2/3, maka sin α = 2k dan cos α = 3k (k adalah konstanta)
Dengan menggunakan identitas sin⊃2; α + cos⊃2; α = 1, kita dapatkan k = 1/√13
sin α = 2/√13 dan cos α = 3/√13
sin 2α = 2 sin α cos α = 2 (2/√13)(3/√13) = 12/13
cos 2α = cos⊃2; α - sin⊃2; α = (9/13) - (4/13) = 5/13

5. Buktikan identitas trigonometri: tan⊃2; α + 1 = sec⊃2; α
Pembuktian:
tan⊃2; α + 1 = (sin⊃2; α / cos⊃2; α) + 1 = (sin⊃2; α + cos⊃2; α) / cos⊃2; α = 1 / cos⊃2; α = sec⊃2; α
Jadi, terbukti bahwa tan⊃2; α + 1 = sec⊃2; α.

6. Tentukan nilai dari sin 105° dan cos 105° dengan menggunakan rumus selisih sudut!
Rumus Selisih Sudut:
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Penyelesaian:
sin 105° = sin (135° - 30°) = sin 135° cos 30° - cos 135° sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4
cos 105° = cos (135° - 30°) = cos 135° cos 30° + sin 135° sin 30° = (-√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (-√6 + √2)/4

7. Jika cos α = -5/13 dan α sudut tumpul, tentukan nilai dari sin 2α dan cos 2α!
Penyelesaian:
cos α = -5/13, maka sin α = √(1 - cos⊃2; α) = √(1 - 25/169) = 12/13 (karena α sudut tumpul)
sin 2α = 2 sin α cos α = 2 (12/13)(-5/13) = -120/169
cos 2α = cos⊃2; α - sin⊃2; α = (25/169) - (144/169) = -119/169

8. Buktikan identitas trigonometri: cot⊃2; α + 1 = csc⊃2; α
Pembuktian:
cot⊃2; α + 1 = (cos⊃2; α / sin⊃2; α) + 1 = (cos⊃2; α + sin⊃2; α) / sin⊃2; α = 1 / sin⊃2; α = csc⊃2; α
Jadi, terbukti bahwa cot⊃2; α + 1 = csc⊃2; α.

9. Tentukan nilai dari sin 15° dan cos 15° dengan menggunakan rumus setengah sudut!
Rumus Setengah Sudut:
sin (α/2) = ±√[(1 - cos α)/2]
cos (α/2) = ±√[(1 + cos α)/2]

Penyelesaian:
sin 15° = sin (30°/2) = √[(1 - cos 30°)/2] = √[(1 - √3/2)/2] = (√2 - √6)/4
cos 15° = cos (30°/2) = √[(1 + cos 30°)/2] = √[(1 + √3/2)/2] = (√2 + √6)/4

10. Jika sin α = 4/5 dan α sudut lancip, tentukan nilai dari sin (α/2) dan cos (α/2) !
Penyelesaian:
sin α = 4/5, maka cos α = √(1 - sin⊃2; α) = √(1 - 16/25) = 3/5
sin (α/2) = √[(1 - cos α)/2] = √[(1 - 3/5)/2] = √(1/5) = √5/5
cos (α/2) = √[(1 + cos α)/2] = √[(1 + 3/5)/2] = √(4/5) = 2√5/5

Catatan:

Tanda positif atau negatif pada rumus setengah sudut ditentukan oleh kuadran sudut α/2.

Dalam pembahasan di atas, tanda positif dipilih karena sudut α/2 berada di kuadran I.

Demikian 40 contoh soal perbandingan trigonometri berdasarkan buku paket Matematika kelas 10 edisi Kurilulum Merdeka terdiri dari 20 soal pilihan ganda dan 10 soal isian serta 10 soal essay lengkap dengan kunci jawaban dan pembahasan .

( Tribunpekanbaru.com / Pitos Punjadi )